Obwód RLC

Rys. 1. Przełączenie kondensatora z obwodu ładowania do obwodu RLC

Rys. 2. Obwód RLC zaraz po dołączeniu naładowanego kondensatora

W obwodzie z rys. 1 w części zawierającej elementy R i L prąd nie płynie, płynie prąd i' w oczku zawierającym E, R' i C jest to prąd określony stanem nieustalonym w obwodzie RC, nas interesuje tylko to, że po odpowiednio długim czasie napięcie na kondensatorze C jest prawie równe napięciu źródła E. Gdy napięcie na kondensatorze osiągnie wartość zbliżoną do E przełączamy przełącznik w położenie jak na rys. 2. Tworzy się obwód RLC. Zgodnie z napięciowym prawem Kirchhoffa mamy:

co przy uwzględnieniu , że:

,

i

daje:

po zróżniczkowaniu tego równania obustronnie, pomnożeniu przez 1/L oraz uszeregowaniu wyrazów otrzymamy:

- jest to równanie różniczkowe linowe II rzędu

Równanie charakterystyczne tego równania ma postać:

jego pierwiastki to:

Teraz należy rozpatrzyć trzy przypadki tj. gdy:

1.		- pierwiastki są rzeczywiste ujemne i różne od siebie
2.		- pierwiastki są rzeczywiste i równe sobie
3.		- pierwiastki są zespolone o ujemnej części rzeczywistej

Obwody spełniające nierówność 1 nazywamy obwodami aperiodycznymi, równanie 2 -  obwodami aperiodycznymi krytycznymi, a 3 - obwodami drgającymi ( oscylacyjnymi )

1. Obwód aperiodyczny

Po rozwiązaniu równania różniczkowego otrzymujemy następujący wzór określający zachowanie obwodu w przypadku aperiodycznym:

gdzie

i

wyznaczamy z warunków początkowych tj. w naszym przypadku

czyli:

oraz

Rys 3.  Przykładowe przebiegi napięcia na elementach R = 100 Ohm, L = 0,001 H  i C = 0,000001 F oraz prądu w obwodzie, gdy E = 10 V.

 

2. Obwód aperiodyczny krytyczny

W tym przypadku

i otrzymujemy równanie postaci:

gdzie

i

także wyznaczamy z warunków początkowych tj. w tym przypadku

i

 

Rys 4. Przykładowe przebiegi napięcia na elementach R = 63,24555 Ohm, L = 0,001 H  i C = 0,000001 F oraz prądu w obwodzie, gdy E = 10 V.

 

3. Obwód oscylacyjny (periodyczny, drgający)

Tu pierwiastki są zespolone sprzężone, wzór będzie wyglądał tak:

czyli inaczej tak (po pozbyciu się liczb zespolonych):

oraz

gdzie:

Rys 5. Przykładowe przebiegi napięcia na elementach R = 20 Ohm, L = 0,001 H  i C = 0,000001 F oraz prądu w obwodzie, gdy E = 10 V.

Porady Prawne